von Der Dirk » 18.10.2006, 06:49
Aufgabe
Gegeben seien die Punkte A(2/0), B(4/4) und C(6/-2) sowie die Gleichung der Geraden l : y = -2/3x + 2
a) Bestimme die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A und B!
b) Bestimme die Gleichung der Geraden h durch die Punkte B und C!
c) Liegen die Punkte (2/3) und (-1/1) auf der Geraden g?
d) Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g und h! (siehe a) und b))
e) Bestimme die Schnittpunkte der Geraden l mit den Geraden g und h!
Gleichung einer Geraden
f(x) = mx + b oder f : y = mx + b oder einfach y = mx + b 'I'
Steigung einer Geraden (m)
P1 (x1/y1), P2 (x2/y2)
m = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) 'II'
Y-Achsenabschnitt einer Geraden (b)
y = mx + b |-mx
<=> b = y - mx 'III'
a)
Einsetzen der Koordinaten der Punkte A und B in 'II':
m = (4 - 2) / (4 - 0) = 1/2
Einsetzen der Koordinaten eines Punktes (B) und der Steigung in 'III':
b = 4 - 1/2 * 4 = 2
Einsetzen der Steigung und des Y-Achsenabschnittes in 'I':
g : y = 1/2x + 2
b)
Einsetzen der Koordinaten der Punkte B und C in 'II':
m = ((-2) - 4) / (6 - 4) = -3
Einsetzen der Koordinaten eines Punktes (B) und der Steigung in 'III':
b = 4 + 3 * 4 = 16
Einsetzen der Steigung und des Y-Achsenabschnittes in 'I':
h : y = -3x + 16
c)
Einsetzen der Koordinaten des ersten Punktes in g:
g : 3 = 1/2*2 +2
<=> 3 = 3
Dies ist eine wahre Aussage, d.h. der erste Punkt liegt auf der Geraden g.
Einsetzen der Koordinaten des zweiten Punktes in g:
g : 1 = 1/2*(-1) +2
<=> 1 = 3/2
Dies ist eine unwahre Aussage, d.h. der zweite Punkt liegt nicht auf der Geraden g.
d)
Wenn man sich die Aufgaben a) und b) durchliest sieht man schon den gemeinsamen Punkt B. Ich möchte jedoch zur Vollständigkeit diesen Punkt rechnerisch herausfinden:
Gleichsetzen der beiden Gleichungen der Geraden g und h:
1/2x + 2 = -3x +16 | +3x; -2
<=> 7/2x = 14 | *2/7
<=> x = 4
Einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen der Geraden g oder h (h):
h : y = -3*4 + 16 = 4
Die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden g ung h lauten (4/4).
e)
Gleichsetzen der beiden Gleichungen der Geraden g und l:
1/2x + 2 = -2/3x + 2 | +2/3; -2
<=> 7/6x = 0
<=> x = 0
Einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen der Geraden g oder l (l):
l : y = -2/3*0 + 2 = 2
Die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden g ung l lauten (0/2).
Gleichsetzen der beiden Gleichungen der Geraden h und l:
-3x + 16 = -2/3x + 2 | +3x; -2
<=> 7/3x = 14 | *3/7
<=> x = 6
Einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen der Geraden h oder l (l):
l : y = -2/3*6 + 2 = -2
Die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden h ung l lauten (6/-2).
"Erst wenn der letzte Baum gerodet, der letzte Fluß vergiftet, der letzte Fisch gefangen ist, werdet ihr feststellen, daß man Geld nicht essen kann."